Hyperbolis-tyyppinen geometria asettaa klassiset geometriset ongelmat uuteen valoon (Väitös: MSc Parisa Hariri, 17.3.2018, matematiikka)

​Turun yliopiston tiedote 7.3.2018

Haririn tutkimus kuuluu matemaattisen analyysin erikoisalaan, geometriseen funktioteoriaan, jossa tutkimuksen kohteena ovat n-ulotteisen euklidisen avaruuden osa-alueiden geometria sekä näissä alueissa määritellyt funktioluokat.

Esimerkkeinä funktioluokista ovat tason (n = 2) tapauksessa konformikuvaukset, analyyttiset funktiot ja Möbius-kuvaukset sekä avaruudessa (n ≥ 3) bilipschitz- ja kvasikonformikuvaukset.

Johtavina ideoina geometrioiden tutkimuksessa ovat toisaalta pyrkimys mahdollisimman hyvään invarianssiin ja toisaalta tavoite antaa alueen reunalle erityinen rooli geometriassa. Mallina voidaan pitää konformikuvauksissa invarianttia tason yksikkökiekon epäeuklidista eli hyperbolista geometriaa, joka syntyi kaksi vuosisataa sitten.

– Viimeisten 30 vuoden aikana alan kansainvälinen tutkimus on ollut ja on edelleen erittäin vilkasta. Tutkimus on osoittanut, että tapauksessa n ≥ 3 invarianssitavoitteesta joudutaan tinkimään ja tyytymään osittaiseen taikka kvasi-invarianssiin. Alueen reunan erityinen rooli toteutuu työssä käytetyissä hyperbolis-tyyppisissä geometrioissa, jolloin alueen sisältä tarkasteltuna reuna on ikään kuin horisontti, "äärettömän kaukana", Hariri sanoo. 

Kunkin hyperbolis-tyyppisen geometrian perustana on geometrian oma kahden pisteen välinen etäisyyskäsite eli metriikka. Tällainen hyperbolis-tyyppinen metriikka huomioi paitsi pisteiden sijainnin toisiinsa nähden myös pisteiden sijainnin alueen reunan suhteen.

– Tuloksille on jo löytynyt sovelluksia muiden tutkijoiden töissä. Johtopäätöksenä voidaan todeta, että klassiset geometriset ongelmat tulevat hyperbolis-tyyppisen geometrian kautta uuteen valoon ja että tässä geometriassa on runsaasti aiheita jatkotutkimuksille, Hariri päättää.

***

MSc Parisa Hariri esittää väitöskirjansa Hyperbolic Type Metrics in Geometric Function Theory julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa lauantaina 17.3.2018 klo 12.00 (Turun yliopisto, Agora, luentosali XXII, Turku).

Vastaväittäjänä toimii professori Tomasz Adamowicz (Polish Academy of Sciences in Warsaw, Puola) ja kustoksena professori Matti Vuorinen (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen.

MSc Parisa Hariri on syntynyt vuonna 1984 Iranissa ja suoritti korkeakoulututkintonsa Maragheh yliopistossa Iranissa vuonna 2010 (MSc). Väitöksen alana on matematiikka. Hariri työskentelee Turun yliopistossa tohtorikoulutettavana.

Väittelijän yhteystiedot: parisa.hariri@utu.fi

Väitöskirja on julkaistu sähköisenä: http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-29-7159-6