Väitöstutkimuksessa esitellään uusi visuaalinen kulmametriikka (Väitös MSc Gendi Wang, 13.8.2013)
MSc Gendi Wang selvitti väitöstutkimuksessaan kahden metrisen avaruuden välisen kuvauksen jatkuvuusmodulia ja esitteli uuden metriikan, jolla geometrioita voidaan konstruoida. Tuloksia voidaan hyödyntää teoreettisen matematiikan tutkimuksessa.
Turun yliopiston väitöstiedote 6.8.2013
Euklidisen geometrian perusominaisuus on, että avaruus on rajoittamaton ja rakenteeltaan samanlainen kaikkialla. Geometrisessa funktioteoriassa tutkitaan usein rajoitettuja euklidisen n-ulotteisen avaruuden alueita ja niissä määriteltyjä kuvauksia. Tällöin euklidinen geometria ei enää ole tutkimuksen kannalta sopivin, koska alueen reunapisteet on huomioitava erikseen. Tarvitaan tilanteeseen sopiva alueen "suhteellinen geometria".
- Euklidisen avaruuden tapauksessa vain äärettömyyspiste on erityisasemassa, kun taas suhteellisessa geometriassa alueen kaikki reunapisteet ovat tällaisessa asemassa. Näitä geometrioita voidaan konstruoida eri tavoin, esimerkiksi hyperbolista tyyppiä olevien metriikoiden avulla, Wang kertoo.
Hyperbolista tyyppiä olevat metriikat voidaan määritellä euklidisen avaruuden jokaisessa aidossa osa-alueessa ja ne ovat monessa suhteessa samankaltaisia kuin hyperboliset metriikat.
Eräs Wangin väitöskirjan pääaiheista oli tutkia kahden annetun metrisen avaruuden välisen kuvauksen jatkuvuusmodulia erilaisten aluetta koskevien oletusten vallitessa. Osa tuloksista liittyy klassiseen hyperboliseen geometriaan.
- Tällainen on muun muassa geodeettisen janan puolitusta koskeva kysymys yksikkökiekon hyperbolisessa geometriassa, jossa välineinä ovat euklidinen suorakulma ja harppi. Toinen yksikkökiekkoa koskeva kysymys liittyy ns. hyperbolisiin Lambertin nelikulmioihin ja niiden vastakkaisten sivujen välisiin etäisyyksiin, Wang sanoo.
Väitöstyön pääosassa esitetään uusi metriikka, ns. visuaalinen kulmametriikka, jonka perusominaisuuksia selvitellään. Lisäksi väitöstyössä todistetaan visuaalisen kulmametriikan ja hyperbolisen metriikan välisiä epäyhtälöitä yksikkökuulassa ja puoliavaruudessa. Lopuksi tarkastellaan, miten eräät tunnetut kuvausluokat muuntavat etäisyyksiä visuaalisessa kulmametriikassa tai etäisyyssuhdemetriikassa.
---
Tiistaina 13. elokuuta 2013 kello 12 esitetään Turun yliopistossa (Arcanum, luentosali Arc1, Arcanuminkuja 4) julkisesti tarkastettavaksi MSc Gendi Wangin väitöskirja ”Metrics of hyperbolic type and moduli of continuity of maps” (Hyperbolis-tyyppiset metriikat ja kuvausten jatkuvuusmodulit). Virallisena vastaväittäjänä toimii professori Peter Hästö Oulun yliopistosta ja kustoksena professori Matti Vuorinen.
MSc Gendi Wang on syntynyt 1977 Chingxingissa. Hän on suorittanut Bachelor’s degree -tutkinnon vuonna 2000 ja Master of Science -tutkinnon 2005 Hangzhoussa, Kiinassa. Väitös kuuluu matematiikan alaan.