Alkulukuihin liittyy yhä lukuisia merkittäviä avoimia ongelmia, vaikka matemaatikot ovat tutkineet niitä jo antiikin ajoista lähtien. FM Jori Merikoski kehitti väitöskirjatutkimuksessaan uusia lähestymistapoja lukuteorian ikuisuusongelmiin.
Merikosken väitöskirja käsittelee analyyttistä lukuteoriaa, joka on kokonaislukujen ominaisuuksia tutkiva matematiikan osa-alue. Kaikki kokonaisluvut voidaan esittää tulona alkuluvuista, joten alkuluvut ovat ikään kuin kokonaislukujen atomeita eli rakennuspalikoita.
– Alkuluvut ovat lukuja, jotka ovat tasan jaollisia vain ykkösellä ja itsellään. Esimerkiksi luvut 5 ja 11 ovat alkulukuja, mutta 15 ei ole alkuluku, sillä se on jaollinen kolmella ja viidellä, väittelijä kertoo.
Jo Eukleides (n. 300 eaa.) todisti, että alkulukuja on äärettömän monta. Merkittävä avoin ongelma lukuteoriassa on osoittaa, että sama pätee, jos rajoitutaan alkulukuihin, jotka ovat yksi enemmän kuin jonkun luvun neliö, esimerkiksi 5=22+1 ja 17=42+1. Toisin sanoen, onko olemassa äärettömän monta muotoa n2+1 olevaa alkulukua?
– Tästä kiehtovan tekee se, että kysymyksenasettelu on petollisen yksinkertainen. Tämä ongelma on yksi neljästä niin kutsutusta Landaun ongelmasta, joiden yleisesti ajatellaan olevan tämän hetken matematiikan ulottumattomissa.
Yleinen ongelmanratkaisustrategia matematiikassa on pyrkiä ensin ratkaisemaan helpotettu versio ongelmasta, varsinkin jos alkuperäinen ongelma näyttää toivottoman vaikealta. Yhdessä Merikosken väitöskirjan artikkeleista tutkitaan tällaista approksimaatiota edellä mainittuun Landaun ongelmaan.
– Sen sijaan että n2+1 olisi alkuluku, halutaan, että tällä on verrattain suuri alkutekijä. Esimerkiksi kun n=103, luku 1032+1=10610=2×5×1061 ei ole alkuluku, mutta sillä on hyvin iso alkutekijä, 1061. Tämä löyhennys tekee ongelmasta lähestyttävän. Voimme kontrolloida ongelman vaikeutta säätämällä sitä, kuinka ison alkutekijän vaadimme.
Alkulukuja tutkiessaan Merikoski käyttää seulamenetelmiä. Seulaa voidaan pitää kombinatorisena koneena, joka hajottaa alkulukuja koskevan ongelman useaksi helpommaksi ongelmaksi, joita puolestaan voimme ratkoa käyttäen matemaattisen analyysin menetelmiä.
– Käytännössä tämä johtaa tutkimaan lukujonon n2+1 analyyttisiä ominaisuuksia, joiden ymmärtämiseksi nojaudumme syvälliseen automorfimuotojen teoriaan. Automorfimuotoja käyttäen pystymme hajottamaan jonon n2+1 sen luonnollisiin ”värähtelytaajuuksiin”. Tätä voi verrata sinfoniaorkesterin tuottamaan äänimaisemaan, joka koostuu useista yksittäisten instrumenttien tuottamista päällekkäisistä taajuuksista.
Tämän ongelman lisäksi väitöskirjassa tutkitaan approksimaatioita kahteen muuhun Landaun ongelmaan, alkulukukaksoskonjektuuriin ja Legendren konjektuuriin. Alkulukukaksoskonjektuuri sanoo, että on olemassa äärettömän monta alkulukuparia, joiden etäisyys on kaksi, esimerkiksi 11 ja 13, tai 29 ja 31. Legendren konjektuuri puolestaan sanoo, että lukujen n2 ja (n+1)2 välissä on aina alkuluku, joka tarkoittaa, että peräkkäisten alkulukujen välinen etäisyys ei kasva kovin nopeasti.
***
FM Jori Merikoski esittää väitöskirjansa ”Approximations to Landau’s problems on prime numbers” julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa maanantaina 26.4.2021 klo 12. Väitöstilaisuutta voi seurata etäyhteyden kautta.
Vastaväittäjänä toimii professori James Maynard (University of Oxford, Iso-Britannia) ja kustoksena akatemiatutkija Kaisa Matomäki (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen. Väitöksen alana on matematiikka.
Turun yliopisto seuraa aktiivisesti koronavirustilannetta ja viranomaisten ohjeita. Yliopisto päivittää ohjeitaan tilanteen mukaan. Ohjeet ja linkit löytyvät osoitteesta: utu.fi/koronavirus
